Zusammenfassung
Eine quadratische Gleichung ist ein Polynom zweiten Grades der Form ax^2 + bx + c = 0. Diese Gleichungen modellieren parabolische Flugbahnen, Flaechenoptimierung, Wurfbewegungen und zahlreiche andere Phaenomene. Die quadratische Formel liefert exakte Loesungen fuer jede quadratische Gleichung, und die Diskriminante verraet bereits vor dem Loesen, wie viele reelle Loesungen existieren.
Funktionsweise
Der Rechner nimmt drei Koeffizienten (a, b, c) entgegen und berechnet:
- Nullstellen (Loesungen) — die Werte von x, an denen die Parabel die x-Achse schneidet, ermittelt mit der quadratischen Formel.
- Diskriminante — der Wert unter der Quadratwurzel, der die Art der Loesungen bestimmt: zwei reelle, eine doppelte oder zwei komplexe.
- Scheitelpunkt — der hoechste oder tiefste Punkt der Parabel, berechnet bei x = -b/(2a).
- Symmetrieachse — die vertikale Linie x = -b/(2a), die die Parabel in zwei spiegelgleiche Haelften teilt.
Die Diskriminante
- D > 0 — zwei verschiedene reelle Nullstellen. Die Parabel schneidet die x-Achse an zwei Punkten.
- D = 0 — eine doppelte reelle Nullstelle. Die Parabel beruehrt die x-Achse an genau einem Punkt.
- D < 0 — keine reellen Nullstellen; zwei konjugiert komplexe Nullstellen. Die Parabel schneidet die x-Achse nicht.
Die Formeln
Where
Where
Rechenbeispiele
Loese 2x^2 + 5x - 3 = 0
Koeffizienten bestimmen
= a = 2, b = 5, c = -3
Diskriminante berechnen
= 49
Quadratische Formel anwenden
= x = 2/4 or x = -12/4
Vereinfachen
= Zwei reelle Nullstellen
Result
x = 0,5 und x = -3
Bestimme den Scheitelpunkt von y = x^2 - 6x + 5
Koeffizienten bestimmen
= a = 1, b = -6, c = 5
x-Koordinate des Scheitelpunkts berechnen
= 3
y-Koordinate des Scheitelpunkts berechnen
= -4
Result
Der Scheitelpunkt liegt bei (3, -4) -- ein Minimum, da a > 0
Praktische Anwendungen
- Wurfbewegungen — die Hoehe eines geworfenen Balls folgt einer parabolischen Bahn; die Nullstellen geben an, wann er den Boden trifft, und der Scheitelpunkt liefert die maximale Hoehe.
- Flaechenoptimierung — die Maximierung der Flaeche eines Rechtecks bei festem Umfang fuehrt zu einer quadratischen Gleichung.
- Umsatzmodellierung — wenn Preis und Nachfrage in einem linearen Zusammenhang stehen, ist der Umsatz (Preis mal Menge) quadratisch, und der Scheitelpunkt gibt den maximalen Umsatz an.
- Ingenieurwesen — parabolische Formen finden sich bei Bruecken, Satellitenschuesseln und Scheinwerferreflektoren.
Annahmen und Einschraenkungen
- a darf nicht null sein — wenn a = 0, wird die Gleichung linear (bx + c = 0), nicht quadratisch. Der Rechner lehnt a = 0 ab.
- Komplexe Nullstellen — wenn die Diskriminante negativ ist, enthalten die Loesungen imaginaere Zahlen. Der Rechner zeigt diese als a +/- bi an, wobei i = sqrt(-1).
- Gleitkommagenauigkeit — bei sehr grossen oder sehr kleinen Koeffizienten koennen Rundungsfehler zu geringfuegigen Ungenauigkeiten bei den angezeigten Nullstellen fuehren. Der Rechner verwendet standardmaessige doppelte Genauigkeit.