Zusammenfassung
Permutationen und Kombinationen sind die beiden grundlegenden Methoden, um zu zaehlen, wie Elemente aus einer Gruppe ausgewaehlt werden koennen. Eine Permutation zaehlt Anordnungen, bei denen die Reihenfolge wichtig ist (z. B. Ranglisten, Sitzordnungen, Passwoerter). Eine Kombination zaehlt Auswahlen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt (z. B. Lottozahlen, Gremienbesetzungen, Kartenhaende). Beide basieren auf der Fakultaetsfunktion, die eine Zahl mit jeder positiven ganzen Zahl darunter multipliziert.
So funktioniert es
Der Rechner berechnet drei Werte:
- Fakultaet (n!) — das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n. Per Definition gilt: 0! = 1.
- Permutationen (nPr) — die Anzahl der geordneten Anordnungen von r Elementen, die aus n ausgewaehlt werden. Jede unterschiedliche Reihenfolge zaehlt als separate Permutation.
- Kombinationen (nCr) — die Anzahl der ungeordneten Auswahlen von r Elementen aus n. Das Umordnen derselben Elemente erzeugt keine neue Kombination.
Die zentrale Erkenntnis: nCr = nPr / r!, weil jede Kombination von r Elementen in r! verschiedenen Reihenfolgen angeordnet werden kann.
Die Formeln
Where
Where
Where
Rechenbeispiele
Wie viele 3-Buchstaben-Anordnungen aus A, B, C, D, E?
n und r bestimmen
= n = 5, r = 3
Permutationsformel anwenden
= 60
Result
Es gibt 60 verschiedene 3-Buchstaben-Anordnungen (ABC, ACB, BAC, ... sind alle unterschiedlich)
Wie viele 5-Karten-Haende aus einem 52-Karten-Deck?
n und r bestimmen
= n = 52, r = 5
Kombinationsformel anwenden (Reihenfolge spielt keine Rolle)
= 311,875,200 / 120
Vereinfachen
= 2,598,960
Result
Es gibt 2.598.960 moegliche 5-Karten-Pokerblaetter
10! (Fakultaet von 10)
Alle ganzen Zahlen von 1 bis 10 multiplizieren
= 3,628,800
Result
10! = 3.628.800
Praktische Anwendungen
- Lottowahrscheinlichkeiten — die Anzahl der Moeglichkeiten, 6 Zahlen aus 49 zu waehlen, betraegt 49C6 = 13.983.816, was einer Wahrscheinlichkeit von etwa 1 zu 14 Millionen entspricht.
- Passwoerter — die Anzahl moeglicher 8-stelliger Passwoerter aus 62 Zeichen (a-z, A-Z, 0-9) betraegt 62P8 mit Wiederholung = 62^8 = 218 Billionen.
- Turnierauslosungen — die Anzahl der Moeglichkeiten, n Teams zu setzen, betraegt n! (eine Permutation aller Teams).
- Gremienauswahl — die Auswahl eines 4-koepfigen Gremiums aus 20 Kandidaten ergibt 20C4 = 4.845 moegliche Gruppen.
Annahmen und Einschraenkungen
- Nur nichtnegative ganze Zahlen — die Fakultaet ist fuer nichtnegative ganze Zahlen definiert. Die Gammafunktion erweitert sie auf reelle und komplexe Zahlen, aber dieser Rechner verwendet die ganzzahlige Definition.
- Ueberlauf bei grossen n — Fakultaeten wachsen extrem schnell (20! = 2,4 Trillionen). Der Rechner verarbeitet grosse Werte, zeigt Ergebnisse aber moeglicherweise in wissenschaftlicher Notation an.
- r darf n nicht ueberschreiten — man kann nicht mehr Elemente auswaehlen, als vorhanden sind. nPr und nCr sind null (oder undefiniert), wenn r > n.
- Ohne Zuruecklegen — diese Formeln setzen voraus, dass jedes Element hoechstens einmal verwendet wird. Fuer Stichproben mit Zuruecklegen gelten andere Formeln (n^r fuer geordnete, C(n+r-1, r) fuer ungeordnete Auswahlen).