Zusammenfassung
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier oder mehrerer ganzer Zahlen ist die größte positive ganze Zahl, die jede von ihnen ohne Rest teilt. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste positive ganze Zahl, die ein Vielfaches jeder von ihnen ist. Diese beiden Konzepte sind grundlegend für das Kürzen von Brüchen, das Finden gemeinsamer Nenner und das Lösen von Problemen in der Zahlentheorie.
So funktioniert es
Es gibt zwei Hauptansätze:
- Euklidischer Algorithmus — die effizienteste Methode zur Bestimmung des ggT. Man teilt wiederholt die größere Zahl durch die kleinere und nimmt den Rest, bis der Rest null ist. Der letzte Rest ungleich null ist der ggT.
- Primfaktorzerlegung — jede Zahl wird in Primfaktoren zerlegt. Der ggT ist das Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren (jeweils in der niedrigsten Potenz). Das kgV ist das Produkt aller Primfaktoren (jeweils in der höchsten Potenz).
Sobald Sie den ggT haben, können Sie das kgV über die Beziehung zwischen beiden berechnen.
Die Formeln
Where
Where
Rechenbeispiele
ggT von 48 und 18 mit dem euklidischen Algorithmus
48 durch 18 teilen
= remainder 12
18 durch 12 teilen
= remainder 6
12 durch 6 teilen
= remainder 0 -- stop
Result
GCF(48, 18) = 6
kgV von 48 und 18
ggT von oben verwenden
= 6
kgV-Formel anwenden
= 144
Result
LCM(48, 18) = 144
Primfaktorzerlegung für ggT und kgV von 60 und 90
60 faktorisieren
= 2^2 * 3 * 5
90 faktorisieren
= 2 * 3^2 * 5
ggT: niedrigste Potenzen der gemeinsamen Primfaktoren
= 30
kgV: höchste Potenzen aller Primfaktoren
= 180
Result
GCF(60, 90) = 30, LCM(60, 90) = 180
Praktische Anwendungen
- Brüche kürzen — teilen Sie Zähler und Nenner durch ihren ggT, um einen Bruch auf die niedrigsten Terme zu bringen (z. B. wird 48/18 zu 8/3).
- Brüche addieren — das kgV der Nenner ergibt den kleinsten gemeinsamen Nenner und macht die Addition einfach.
- Terminplanung — wenn Ereignis A alle 12 Tage und Ereignis B alle 18 Tage stattfindet, fallen sie das nächste Mal in kgV(12, 18) = 36 Tagen zusammen.
- Fliesenlegen und Maße — der ggT bestimmt die größte quadratische Fliese, die einen rechteckigen Boden gleichmäßig bedeckt.
Annahmen & Einschränkungen
- Nur positive ganze Zahlen — ggT und kgV sind für positive ganze Zahlen definiert. Der Rechner verwendet den Absolutwert negativer Eingaben.
- ggT von null — ggT(a, 0) = a per Konvention, da jede ganze Zahl 0 teilt. kgV(a, 0) = 0, da 0 ein Vielfaches von allem ist.
- Mehr als zwei Zahlen — der euklidische Algorithmus lässt sich natürlich erweitern: ggT(a, b, c) = ggT(ggT(a, b), c), und ebenso für das kgV.