Bruchrechner: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren & Dividieren

Zusammenfassung

Ein Bruch stellt einen Teil eines Ganzen dar und wird als eine ganze Zahl (der Zähler) über einer anderen (dem Nenner) geschrieben. Brüche sind grundlegend für die Arithmetik und kommen in der Mathematik, beim Kochen, im Ingenieurwesen und im Finanzwesen vor. Dieser Rechner führt Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zweier Brüche durch, vereinfacht das Ergebnis automatisch mithilfe des größten gemeinsamen Teilers (ggT) und wandelt es bei Bedarf in gemischte Zahlen um.

So funktioniert es

Jede arithmetische Operation mit Brüchen folgt einer bestimmten Regel:

1. Addition und Subtraktion erfordern einen gemeinsamen Nenner. Der Rechner ermittelt den kleinsten gemeinsamen Nenner (kgN), wandelt beide Brüche um und addiert oder subtrahiert dann die Zähler. Die allgemeine Formel arbeitet mit Kreuzmultiplikation, die stets einen gemeinsamen Nenner liefert (wenn auch nicht immer den kleinsten — das Ergebnis wird anschließend vereinfacht).
2. Multiplikation ist die einfachste Operation: Zähler miteinander multiplizieren, Nenner miteinander multiplizieren und dann vereinfachen.
3. Division kehrt den zweiten Bruch um (Kehrwert) und multipliziert. Dies ist die klassische „Behalten, Ändern, Umdrehen”-Regel.

Nach der Berechnung des Rohergebnisses teilt der Rechner sowohl Zähler als auch Nenner durch ihren ggT, um den vollständig gekürzten Bruch zu erhalten. Wenn der Zähler größer als der Nenner ist, wird zusätzlich in eine gemischte Zahl umgewandelt (z. B. wird 17/12 zu 1 5/12).

Bestimmung des ggT

Der größte gemeinsame Teiler wird mit dem euklidischen Algorithmus berechnet: Man teilt wiederholt die größere Zahl durch die kleinere und nimmt den Rest, bis der Rest null ist. Der letzte Rest ungleich null ist der ggT. Beispiel: ggT(8, 12): 12 mod 8 = 4, 8 mod 4 = 0, also ggT = 4.

Die Formeln

Vereinfachung

Nach jeder Operation werden Zähler und Nenner durch ihren ggT geteilt:

Rechenbeispiel

Eingaben erklärt

• Erster Bruch (a/b) — Zähler und Nenner des ersten Bruchs. Beide müssen ganze Zahlen sein; der Nenner darf nicht null sein.
• Rechenoperation — wählen Sie Addition (+), Subtraktion (-), Multiplikation (*) oder Division (/).
• Zweiter Bruch (c/d) — Zähler und Nenner des zweiten Bruchs. Bei der Division darf der Zähler nicht null sein (Division durch null).
• Gemischte Zahlen — wenn Sie eine gemischte Zahl eingeben (z. B. 1 2/3), wandelt der Rechner sie zunächst in einen unechten Bruch um (5/3), bevor die Operation durchgeführt wird.

Ausgaben erklärt

• Ergebnis (unechter Bruch) — das vollständig gekürzte Ergebnis als einzelner Bruch. Zum Beispiel 17/12 statt 34/24.
• Ergebnis (gemischte Zahl) — wenn der Zähler den Nenner übersteigt, wird das Ergebnis auch als gemischte Zahl angezeigt (z. B. 1 5/12).
• Dezimalwert — der Bruch als Dezimalzahl, auf eine angemessene Anzahl von Nachkommastellen gerundet.
• Schritt-für-Schritt-Aufschlüsselung — die Zwischenberechnungen, die zeigen, wie der gemeinsame Nenner gefunden und die Vereinfachung angewendet wurde.

Annahmen & Einschränkungen

• Nur ganzzahlige Eingaben — der Rechner arbeitet mit ganzzahligen Zählern und Nennern. Dezimaleingaben werden nicht direkt unterstützt; wandeln Sie 0,75 zuerst in 3/4 um.
• Keine verschachtelten Brüche — Doppelbrüche (Brüche innerhalb von Brüchen) müssen vor der Eingabe zu einem einzelnen Bruch vereinfacht werden.
• Überlauf bei sehr großen Zahlen — obwohl JavaScript sehr große ganze Zahlen verarbeiten kann, können Brüche mit Zählern oder Nennern über 2^53 aufgrund der Gleitkommadarstellung an Genauigkeit verlieren.
• Nur eine Operation gleichzeitig — für Kettenrechnungen (z. B. 1/2 + 1/3 + 1/4) führen Sie die Berechnungen nacheinander durch und verwenden das Ergebnis einer Operation als Eingabe für die nächste.
• Negative Brüche — Vorzeichen werden auf den Zähler normalisiert. Ein Bruch wie 3/(-4) wird als -3/4 angezeigt.